Ellipszis (görbe)
A matematikában az ellipszis (régiesen: kerülék) görbe azon pontok mértani helye egy síkon, ahol a pontok két rögzített ponttól mért távolságának összege a két pont távolságánál nagyobb állandó. A két pontot fókuszpontnak vagy gyújtópontnak hívják. Az ellipszis kúpszelet: ha egy kúpfelületet egy olyan síkkal metsszük, amely nem metszi a kúp alaplapját (és nem is párhuzamos azzal), a metszésvonal ellipszis lesz. Ennek rövid, elemi bizonyítását a Dandelin-gömbök adják.
Matematikailag az ellipszis egy görbe, melyet egy Descartes-féle koordináta-rendszerben az alábbi egyenlet ír le:
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}
akkor, ha
B
2
<
4
A
C
{\displaystyle B^{2}<4AC}
, ahol az összes együttható valós és ahol több mint egy megoldás, ami az ellipszis egy (x, y) pontpárját definiálja létezik.
Az ellipszist könnyen megrajzolhatjuk két rajzszög, egy zsinór és egy ceruza segítségével. A rajzszögeket leszúrjuk a fókuszpontokba, a zsinórt lazán a rajzszögekhez csomózzuk. A ceruza hegyével megfeszítjük a zsinórt és úgy rajzolunk vele, hogy a háromszöget alkotó zsinór mindig feszes maradjon. Ekkor a két fókuszponttól húzható sugár összege (a zsinór hossza) állandó marad, így a rajzolt görbe valóban ellipszis lesz.
Az a húr (húr: egyenes szakasz, melyet az ellipszis két pontja határol), mely a két fókuszponton halad át, a főtengely. A főtengely az ellipszis leghosszabb húrja. A fókuszok felezőpontján a nagytengelyre merőlegesen állított egyenes által meghatározott húr a kistengely. Féltengely a tengelyek fele, beszélünk fél nagytengelyről (az ábrán a) és fél kistengelyről (az ábrán b).
Ha a két fókusz egybeesik, vagyis a két tengely egyenlő hosszú, akkor az ellipszis körré fajul; más szóval a kör az ellipszis egy speciális esete, ahol az excentricitás zéró.
Az origó középpontú ellipszist úgy lehet tekinteni, hogy az egy origó középpontú, egységsugarú körnek az
A
=
P
D
P
T
{\displaystyle A=PDP^{T}}
szimmetrikus mátrix szerinti lineáris transzformáltja, ahol a D mátrix A mátrix sajátértékeiből képzett diagonális mátrixa, P pedig egy valós unitér mátrix, melynek oszlopai A sajátvektorai. Ekkor az ellipszis tengelyei A sajátvektorainak irányába esnek, és a tengelyek hosszának négyzetei a sajátértékek reciprokai.
Ellipszist úgy is elő lehet állítani, hogy egy kör minden pontjának x koordinátáját egy állandóval megszorozzuk, az y érték változatlanul hagyása mellett.
