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Puzzle online Coefficiente angolare

Coefficiente angolare

In geometria analitica il coefficiente angolare (in lingua inglese slope, pendenza) di una retta non verticale nel piano cartesiano è il coefficiente

m

{\displaystyle m}

che compare nella sua equazione, scritta nella forma:

y

=

m

x

+

q

{\displaystyle y=mx+q\;}

.Partendo dai coefficienti dell'equazione generale

a

x

+

b

y

+

c

=

0

{\displaystyle ax+by+c=0}

,con

b

≠

0

{\displaystyle b\neq 0}

(retta non verticale), il coefficiente angolare è espresso dal rapporto

m

=

−

a

b

{\displaystyle m=-{\frac {a}{b}}}

.Due rette (non verticali) sono parallele esattamente quando hanno lo stesso coefficiente angolare; in particolare, il coefficiente angolare della retta passante per l'origine,

y

=

m

x

{\displaystyle y=mx}

è la tangente degli angoli formati dalla retta con l'asse delle ascisse: la retta infatti passa per il punto di coordinate

(

x

1

,

y

1

)

=

(

cos

⁡

(

α

)

,

sin

⁡

(

α

)

)

{\displaystyle (x_{1},y_{1})=(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))}

, quindi

m

=

y

1

x

1

=

sin

⁡

(

α

)

cos

⁡

(

α

)

=

tan

⁡

(

α

)

{\displaystyle m={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )}

.Il coefficiente angolare di una retta (non verticale) è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta,

(

x

1

,

y

1

)

{\displaystyle (x_{1},y_{1})}

e

(

x

2

,

y

2

)

{\displaystyle (x_{2},y_{2})}

:

{

y

1

=

m

x

1

+

q

y

2

=

m

x

2

+

q

⇒

q

=

y

1

−

m

x

1

=

y

2

−

m

x

2

⇒

m

(

x

1

−

x

2

)

=

(

y

1

−

y

2

)

⇒

m

=

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

=

Δ

y

Δ

x

{\displaystyle {\begin{cases}y_{1}=mx_{1}+q\\y_{2}=mx_{2}+q\end{cases}}\Rightarrow q=y_{1}-mx_{1}=y_{2}-mx_{2}\Rightarrow m(x_{1}-x_{2})=(y_{1}-y_{2})\Rightarrow m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

Per una retta verticale, di equazione

x

=

x

0

{\displaystyle x=x_{0}}

, questa espressione è priva di significato: due distinti punti della retta hanno diverse coordinate

y

{\displaystyle y}

ma uguali coordinate

x

{\displaystyle x}

, quindi per calcolare il rapporto bisognerebbe dividere per zero (al contrario, in geometria proiettiva il simbolo

(

1

:

0

)

{\displaystyle (1:0)}

è ben definito).

Considerando la retta come grafico di una funzione

f

(

x

)

=

m

x

+

q

{\displaystyle f(x)=mx+q}

, il suo coefficiente angolare è la derivata della funzione:

f

′

(

x

)

=

m

{\displaystyle f'(x)=m}

(la retta tangente è la retta stessa).

Poiché due rette in forma generale,

a

x

+

b

y

+

c

=

0

{\displaystyle ax+by+c=0}

e

a

′

x

+

b

′

y

+

c

′

=

0

{\displaystyle a'x+b'y+c'=0}

, sono perpendicolari esattamente quando

a

a

′

+

b

b

′

=

0

{\displaystyle aa'+bb'=0}

, ne segue che due rette (non verticali)

y

=

m

x

+

q

{\displaystyle y=mx+q}

e

y

=

m

′

x

+

q

′

{\displaystyle y=m'x+q'}

sono perpendicolari esattamente quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è

m

m

′

=

−

1

{\displaystyle mm'=-1}

.Questa condizione può essere riscritta come

m

′

=

−

1

m

{\displaystyle m'=-{\frac {1}{m}}}

, ed espressa dicendo che

m

′

{\displaystyle m'}

è l'antireciproco (opposto del reciproco) di

m

{\displaystyle m}

.