Elipsă
Elipsa (din gr. elleipsis – lipsă) este o curbă plană definită ca loc geometric al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe (numite focarele elipsei) este constantă.
Aria suprafeței delimitate de o elipsă (disc eliptic) de semiaxe a și b este
A
=
π
a
b
{\displaystyle A=\pi ab}
.
Elipsa este o conică, adică este una dintre curbele care se pot obține prin intersecția dintre un con și un plan.
Din punct de vedere algebric, elipsa este o curbă definită în coordonate carteziene de următoarea ecuație de gradul al doilea în două variabile:
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}
cu condițiile
B
2
<
4
A
C
{\displaystyle B^{2}<4AC}
, toți coeficienții sunt reali și există mai mult de o singură pereche (x, y) care să satisfacă ecuația.
Segmentul de dreaptă care trece prin focare și are capetele pe elipsă se numește axa majoră. Segmentul perpendicular pe mijlocul axei majore și având capetele pe elipsă se numește axă minoră.
Parametrul
e
=
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
care apare și în figura alăturată se numește excentricitatea elipsei.
Lungimea elipsei este dată de o integrală eliptică. Elipsa cu excentricitatea e și cu semiaxa mare a va avea lungimea
L
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
e
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
e
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
e
6
5
−
…
]
{\displaystyle L=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}
Se poate observa că cercul este un caz particular de elipsă (elipsa în care cele două focare coincid - sau pentru ecuația algebrică, elipsa pentru care
A
=
C
{\displaystyle A=C}
și
B
=
0
{\displaystyle B=0}
).
